Трендлист

На днях я получил сообщение на почту со следующим текстом: “Спасибо за задачу! Решил ее так”. Я был приятно удивлен тем фактом что кто-то решил мою задачку (см. предыдущие посты). И даже не один человек – оказалось это сделали двое. Но самое интересное было то что они решили задачу совершенно разными методами. Это меня очень порадовало. Давайте посмотрим как решали эту задачу два человека. В конце мы обсудим этот случай в комментариях к посту. Как вы думаете почему разные люди приходят к одному ответу? О чём говорит такая ситуация? Поможет ли нам такое знание во время обучения детей или просто для собственного развития?

Пример 6.8

Задачу можно сформулировать вот таким образом:

Если учесть все уровни концентрации раствора вместе взятые — какую максимальную общую скорость реакции получится получить? Ответ будет всегда одинаковым независимо от того какие именно растворы используются. Например если у нас есть три решения A, B и C которые дают скорости V_A=1 м/с; V_B =2 м/с ;V_C =3 м/с . То общий поток составит \( \frac{4}{9} \) м/c. Дальше смотрите сами.

Теперь давайте решим данную задачу двумя способами. Первый способ показан ниже, а второй находится после первого метода его решения. Какой из методов вам больше понравится? Почему?

Предположим мы смешиваем раствор А(скорость 1) и раствор Б(скорость 2), получив смесь двух частей каждого компонента. Общая скорость смеси равна сумме скоростей компонентов делённая на количество этих компонент: \( v_{AB} = \frac{v_A + v_B}{n_A+ n_B}= \frac {1+2}{1+1}=\frac{3}{2}\)

Так же предположим теперь, что вместо второго раствора используется третий раствор С(скорость 3). Тогда получаем аналогично смесь трех частей составляющих которая имеет такую скорость:\( v_{ABC} = \frac{v_A + v_B + v_C}{n_A+ n_B+ n_C}=\frac {1+2+3}{1+1+1}=\frac{6}{3}=2\)

Мы получили две различные скорости потоков жидкости, но поскольку ни одна величина которую мы использовали (количество частей составов, их константы и тд.) не изменилась, тогда обе эти величины должны дать одинаковый результат. Что противоречит нашей ситуации. Поэтому нужно использовать другое рассуждение. Выделим состав которого нет в других композитах. Для нашего случая это вещество «А». Пусть оно составляет единицу объема. Рассчитаем сколько всего объемного вещества присутствует в одном объеме каждой композитной смеси. Из вышеприведенных уравнений мы можем увидеть, что эта величина является пропорциональной коэффициентам соотношения элементов состава. Таким образом сумма всех таких отношений должна равняться единице, поэтому общее число пропорций равно сумме обратных чисел соответствующих количеств веществ. Следовательно средняя скорость любого из решений может выражаться через сумму обратных значений количества химических элементов входящих в каждый элемент раствора:\[\bar{\nu}_{\text{s}} = \sum_{\alpha=1}^{N_{\text{comp}}} \left(\frac{1}{\overline{n}_\alpha}\right)^{-1}\]

Где N_comp — общее количество различных типов решений, а \( \overline{n}_\alpha \) — доля α‑го типа раствора среди общего числа образцов. Поскольку ∑^N_α=1 \( \overline{n}_\alpha \) = 1, следовательно \[ \bar{\nu}_{\text{s}} = \frac{(\overline{n}_1+\overline{n}_2+\ldots +\overline{n}_{N_\text{comp}}) (\overline{n}_1^{-1}+\overline{n}_2^{-1}+\ldots +\overline{n}_{N_\text{comp}}^{-1}) }{1} \]

Подставив наши данные получим конечное значение средней скорости: \[ \bar{\nu}_{\text{s}} = \frac{(1+1)(1^{−1}+2^{−1}+3^{−1})}{1} = \frac{2 * \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)}{1} = 2*\left(\frac{11}{6}\right)= \frac{11}{3}\