Трендлист

Сегодняшняя статья — это небольшая поучительная история о том, как надо решать проблемы и искать пути выхода из сложной ситуации в любой сфере деятельности человека. 

Задачка для детей

Не так давно я столкнулся со следующей задачей: найти все натуральные числа n, при которых данное выражение является полным квадратом некоторого целого числа (не обязательно положительного):

• a × b = m², где a ∈ [1;n], а b ≤ √n.

Изначально эта проблема возникла у меня не в математическом контексте, но сейчас она стала настолько интересной, что хотелось бы поделиться этим опытом решения задач с вами. Я решил написать программу, которая найдет такие значения для чисел от одного до миллиона или даже большего порядка величины. Но тут же стало ясно, что многие люди могут получить удовольствие, если их попросят подумать над решением этой проблемы самостоятельно. Поэтому вы можете попробовать свои силы здесь и сейчас! А потом уже прочитать мои мысли об этом ниже. ;)

Краткое объяснение сути

Как известно всем учащимся средней школы, число x может являться полным квадратом только тогда, когда его можно представить через формулу k² , то есть произведение двух одинаковых чисел. Например, число 27 нельзя будет записать в виде какого-либо полного квадрата, потому что оно не делится ни на одно такое число без остатка. Точно также некоторые рациональные дроби тоже не являются полными квадратами, поскольку их знаменатель равен числу, которое невозможно выразить через другие числа, кроме единицы. Таким образом, чтобы ответить на поставленный вопрос мы должны выяснить, какие пары простых множителей дают нам полный квадрат. Для этого достаточно вычислить наибольшую степень каждого простого множителя, которую он сможет достичь внутри выражения, представленного выше. Это даст нам ответ к нашей исходной проблеме. Так как нас интересует значение параметра n, то нужно учесть тот факт, что наименьшее значение такого произведения должно соответствовать этому параметру, иначе наше утверждение теряет смысл. Если говорить простыми словами, то результат должен содержать максимальное возможное количество множителей, которые дадут нам минимальный общий корень между ними. Итак, давайте приступим к решению данной головоломки.

Решение задачи

Теперь представим себе пару примеров, которые помогут вам разобраться в суть происходящего. Сначала рассмотрим случай с двумя одинаковыми множителями:

• x * y = z² → 4*3=9 ; → 4^1·3^1 = 9 ; → 2×√3=3;
• y *z = w² → 8*5=40 ; → 2³ · 5¹ = 40 ; → 2×√(5)=2√5 ≈ 4.47 ;
• r * s = v² → 15*7=105; → 3¹ · 5¹ · 7¹ = 105; → 2 × √(3) × √(5) × √(7) ≈ 11,79 ;
• Теперь разберемся с парой различных множителей, каждый из которых имеет свою степень:
• Список:
• p₁ * p₂ = q² → 3 * 4 = 12; → 3¹ · 4¹ = 12; → 2 × 2 ≈ 4;
• q₁ * q₂ = r² → 6 * 2 = 12; → 2¹ · 3¹ · 2¹ = 12; → 2 × 3 ≈ 6;
• t₁ * t₂ = u² → 12 * 3 = 36; → 2² · 3¹ · 3¹ = 36; → 6≈ 6;
• v₁ * v₂ = w² → 4 * 3 = 12; → 2² · 3¹ = 12; → 2 × 2 ≈ 4;
• w₁ * w₂ = x² → 4 * 6 = 24; → 2² · 3¹ · 2¹ = 24; → 4 × 2 = 8;
• заключительно посмотрим на примеры с тремя различными множителями:
• Список:
• k₁ * k₂ * k₃ = l² → 15 * 12 = 180; → 3¹ · 5¹