Трендлист

Доказательства формулы площади любого многоугольника достаточно сложны, но в случае со специальными видами фигур есть способы обойтись простым рассуждением или геометрическими преобразованиями. В частности, если у нас есть прямоугольный треугольник, то его площадь можно вычислить по известной всем нам формуле ½ab , где a — катет при прямом углу, b — другой катет. 

А как насчёт произвольного непрямоугольного треугольника? Вычислить площадь такого треугольника довольно просто с помощью тригонометрии (через синусы), так же легко посчитать ее через высоту к любой из сторон, а также используя Герона. Но эти методы требуют знания свойств некоторых функций и теорем. Так ли сложно найти способ определить квадратный сантиметр фигуры без всяких этих вычислений? Да, вполне возможно! Вот одно такое доказательство. Оно состоит всего лишь из пары утверждений, которые мы можем принять на веру, хотя их тоже стоит проверить самостоятельно. Итак… 

Предварительные замечания

• Треугольник может иметь любые стороны. Он должен содержать только одну вершину между двумя сторонами, иначе это будет неправильная фигура. Понятно, что все три вершины должны лежать в одной плоскости; она называется евклидовой. Мы подразумеваем под этим именно эту самую обычную для всех модель пространства. Если вы имеете в виду искривленное пространство, например сферическое, тогда вам следует проконсультироваться с физиком-космологом :) . Треугольник нельзя делить на части равные нулю объема. Это означает, что он имеет ненулевую величину, которая лежит в пределах положительных чисел. Все это должно выполняться одновременно. Обязательно нужно помнить об этом и соблюдать правила игры. Нельзя нарушать ни одно из условий. Иначе ваш результат будет неверен. Удачи!

Как уже было сказано выше, существует множество способов выразить размер данного объекта численным числом. Я покажу два простых метода определения площади треугольника, причем один из них заключается исключительно в использовании трехмерных проекций этого объекта. На самом деле этот метод работает абсолютно точно, поскольку основан на таких фундаментальных математических законах, которые практически невозможно подорвать даже самыми радикальными теориями мироздания. Поэтому после того как я завершу свое объяснение, мне больше никогда не придется переписывать текст этой записи. Однако некоторые люди могут возразить и сказать, что я ошибся, поэтому обязательно прочитайте комментарии ниже. Там вы можете оставить свои мысли о том, правильно ли мое объяснение. Ну ладно, хватит предисловия, давайте приступим. 

Квадратичная сетка

Для начала надо представить себе систему координат, состоящую из квадратов размером единицу на каждую сторону. Такая система похожа на клетчатую бумагу. Теперь представим наш интересующий нас треугольник, который мы хотим исследовать, внутри этой системы. Естественно, размеры нашего предмета исследования никак не связаны с масштабом нашей клетки, они совершенно независимы друг от друга. Значит, треугольник может занимать сколько угодно места, хоть всю поверхность бумаги, главное чтобы он удовлетворял условиям описанным ранее. Точно так же независимо от размера клеток находится положение самого объекта относительно данной сеточки, нет никакой связи между этими величинами. Отсюда ясно, что эта система является идеальным инструментом для изучения любых объектов, потому что позволяет сравнивать такие вещи, которых сравнить обычно оказывается невозможно. Например, какой бы большой не был объект, всегда найдется место ему в сетке, которую можно сделать еще более мелкой. Таким образом, наше исследование ограничено только пределами человеческого восприятия, а вовсе не размерами изучаемого объекта.

Когда речь идет о множествах точек, расположенных вдоль прямой линии, то разбить отрезок на несколько частей очень легко. Чтобы убедиться в правильности своих действий, представьте линию, соединяющую точки A и B. Она длиной L = AB. Можно провести перпендикулярную ей линию C-D, параллельную самой оси x, и разделить обе линии на одинаковое количество отрезков. Тогда длина каждого отрезка составит l = L/n, n – некоторое целое число. Проведите вторую такую же перпендикулярную линию E-F, пересекающую первую в точке O. Затем присоедините концы первых двух линий, получив таким образом две фигуры, каждая из которых представляет собой прямоугольник. Эти прямоугольники имеют одинаковые длины, равные числу N * l, однако разные ширины. Пусть одна ширина равна k*l, другая же составляет m*l, причем m ≠k. Обра