Трендлист

Простая задача для инженеров и студентов-механиков – определить по чертежу или наглядной схеме какую-то деталь в виде многоугольника (например, трапеции) и выяснить какая у нее площадь? Но даже такой простой вопрос может вызвать затруднения. Я хочу показать вам простую методику решения этой задачи. Вспомните школьную программу — какие формули были там? А теперь вспоминайте ее каждый день! :)

Вычислительная часть

Дано два вида деталей: первая имеет вид параллелограмма, а вторая представляет собой неправильный четырехугольник. Попробуем посчитать площади этих фигур разными способами. Для этого нам понадобятся некоторые знания из курса «Геометрии». Запишем их здесь для удобства читателей. Если не помните это определение, то поищите его где нибудь еще раз :) Так же запишу несколько полезных замечаний. Они будут очень кстати позже.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов; Площадь любого равнобедренного треугольника можно найти через основание и высоту, проведенную к нему; Свойство диагоналей параллельных прямых говорит о том, что если две эти линии пересечься под углом a, то угол между продолжением одной прямой и перпендикулярным ей направлением будет равен этому самому углу a; Угол при основании правильного шестиугольника составляет 120 градусов. Последнее утверждение касается только правильных шестиугольников. Прямоугольные трапеции имеют острый угол α равный 45 градусам. Правильная пятиконечная звезда состоит из четырех сторон длиной d, образующих внешние углы величиной =36°; также она содержит внутреннюю сторону длиной r=d*sin(α), тогда sin(α)=r/d… И так далее :)))))))

Итак, начнем считать первую фигурку. Это параллелограмм. Как мы знаем, он является своего рода растянутым прямоугольником. Поэтому все свойства последнего могут использоваться для описания свойств первого. К тому же, любой параллелограмм обладает симметрией относительно своих диагоналей. Именно поэтому существует множество способов рассчета площади данного тела. Мы рассмотрим три таких варианта. Первый способ заключается в использовании уже известных нам свойств прямоугольного треугольника. Второй вариант использует свойство угла при основании регулярного шестиугольника. Третий метод опирается на связь длин основания и высоты произвольного параллелограмма.

Метод № 1

Этот способ расчета наиболее элементарен и подходит для тех случаев, когда высота известна точно. Напомню, что сумма смежных углов любого выпуклого многогранника равна сумме внутренних углов других граней минус полусумма всех остальных внутренних углов. То есть, чтобы получить сумму двух соседних углов нужно сложить остальные внутренние углы всего многогранника и разделить полученное число на 2. Также напомню, что cos²a + sin²a = 1

Метод № 2

Рассмотрим второй метод определения длины стороны правильной звезды со сторонами L. Из того факта, что вся звездная конструкция складывается из трех одинаковых сектора круга радиуса R, следует теорема синусов. Она гласит, что сторона правильного n-угольника может быть выражена следующим образом:

Синус каждого внутреннего угла n-угольника определяется как R * sqrt(n^2 / (8+sqrt(7))), поскольку сумма центральных углов секторов всегда равна π. Таким образом, сторона правильной пятиконечной звезды описывается формулой:

Метод № 3

Теперь давайте найдем длину стороны нашей новой фигуры — квадрат. Эта величина легко получается из предыдущих расчетов. Вертикальная сторона квадрата находится вдоль оси x, которая совпадает с осью абсцисс нашего графика. Горизонтальная же лежит вдоль оси y. Соответственно, длина первой стороны равна координатам точки A, расположенной над началом координат системы, за вычетом значения координаты начала координат по оси y. Другая сторона квадрата рассчитывается аналогично:

После получения необходимой информации остается лишь собрать всю вышеизложенную информацию воедино и подсчитать нужный параметр — периметр каждой фигуры. Вот такая вот интересная задачка была :) Надеюсь мой рассказ помог вашему мозгу немного размяться ;)

P.S.: Спасибо всем комментаторам за участие и помощь в составлении материала. Особенно хочется отметить Юрчика и Вашего Папы за ссылки на оригинальные материалы. Отде